写3d图形程序,就一定会做坐标变换。而谈到坐标变换,就不得不提起投影变换,因为它是所有变换中最不容易弄懂的。但有趣的是,各种关于透视变换的文档却
依然是简之又简,甚至还有前后矛盾的地方。看来如此这般光景,想要弄清楚它,非得自己动手不可了。所以在下面的文章里,作者尝试推导一遍这个难缠的透视变
换,然后把它套用到 DX和 PS2lib 的实例中去。


  1. 一般概念

所谓透视投影变换,就是view 空间到project
空间的带透视性质的坐标变换步骤(这两个空间的定义可以参考其他文档和书籍)。我们首先来考虑它应该具有那些变换性质。很显然,它至少要保证我们在view空间中所有处于可视范围内的点通过变换之后,统统落在project空间的可视区域内。好极了,我们就从这里着手——先来看看两个空间的可视区域。


由于是透视变换,view空间中的可见范围既是常说的视平截体(view frustum)。如图,


(图1)

它就是由前后两个截面截成的这个棱台。

从view空间的x正半轴看过去是下图这个样子。


(图2)


接下来是project空间的可视范围。这个空间应当是处于你所见到的屏幕上。实际上将屏幕表面视作project空间的xoy平面,再加一条垂直屏幕向
里(或向外)的z轴(这取决于你的坐标系是左手系还是右手系),这样就构成了我们想要的坐标系。好了,现在我们可以用视口(view
port)的大小来描述这个可视范围了。比如说全屏幕640*480的分辨率,原点在屏幕中心,那我们得到的可视区域为一个长方体,它如下图(a)所示。


(图3)


但是,这样会带来一些设备相关性而分散我们的注意力,所以不妨先向DirectX文档学学,将project空间的可视范围定义为x∈[-1,1],
y∈[-1,1],
z∈[0,1]的一个立方体(上图b)。这实际上可看作一个中间坐标系,从这个坐标系到上面我们由视口得出的坐标系,只需要对三个轴向做一些放缩和平移操作即可。另外,这个project坐标系对clip操作来说,也是比较方便的。


  1. 推导过程

先从project空间的x正半轴看看我们的变换目标。


(图4)

    

这个区域的上下边界为y’=±1,
而图2中的上下边界为y =

± z *
tan(fov/2),要实现图
2到图4的变换,我们有y’ = y * cot(fov/2) /
z。这下完了,这是一个非线性变换,怎么用矩阵计算来完成呢?还好我们有w这个分量。注意到我们在做投影变换之前所进行的两次坐标变换——world变换
和view变换,他们只是一系列旋转平移和缩放变换的叠加。仔细观察这些变换矩阵,你会发现它们其实不会影响向量的w分量。换句话说,只要不是故意,一个
w分量等于1的向量,再来到投影变换之前他的w分量仍旧等于1。好的,接下来我们让w’= w*z,
新的w就记录下了view空间中的z值。同时在y分量上我们退而求其次,只要做到y’ = y *
cot(fov/2)。那么,在做完线性变换之后,我们再用向量的y除以w,就得到了我们想要的最终的y值。

     

x分量的变换可以如法炮制,只是fov要换一换。事实上,很多用以生成投影变换矩阵的函数都使用了aspect这个参数。这个参数给出了视平截体截面的纵横比(这个比值应与view
port的纵横比相等,否则变换结果会失真)。如果我们按照惯例,定义aspect = size of X / size of
Y。x = z*tan(fov/2)*aspect那么我们就可以继续使用同一个fov而给出x分量的变换规则:x’ = x * cot(fov/2) / aspect。

      现在只剩下z分量了。我们所渴望的变换应将z = Znear 变换到z = 0,将z = Zfar变换到z =
1。这个很简单,但是等等,x, y最后还要除以w,你z怎能例外。既然也要除,那么z = Zfar 就不能映射到z = 1了。唔,先映射到z =
Zfar试试。于是,有(z-Znear)/(Zfar-Znear)=z
’/Zfar (成比例) ;   z’ = Zfar*(z-Znear)/(Zfar – Znear)。接下来,看看z’/z的性质。令f(z) = z’/z =
Zfar*(z-Znear)/(z*(Zfar – Znear))。

   则f’(z) = Zfar * Znear / ( z^2 * (Zfar –Znear )), 显而易见f’(z) >
0。所以除了z = 0是一个奇点,函数f(z)是一个单调增的函数。因此,当Znear
≤zZfar时,f(Znear)≤f(z)≤f(Zfar),
即0≤f(z)≤1。


至此,我们可以给出投影变换的表达式了。


x’ = x*cot(fov/2)/aspect


y’ = y*cot(fov/2)


z’ = z*Zfar / ( Zfar – Znear ) – Zfar*Znear / ( Zfar – Znear
)


w’ = z


以矩阵表示,则得到变换矩阵如下,


cot(fov/2)/aspect          0                   0                   0

         
0               cot(fov/2)               0                   0

         
0                      0       Zfar/(Zfar-Znear)          1

         
0                      0     -Zfar*Znear/(Zfar-Znear)  0。


做完线性变换之后,再进行所谓的“归一化”,即用w分量去除结果向量。



  现在我们考虑一下这个变换对全view空间的点的作用。首先是x和y分量,明了地,当z>0时,一切都如我们所愿;当z<0时,x和y的
符号在变换前后发生了变化,从图象上来说,view空间中处于camera后面的图形经过变换之后上下颠倒,左右交换;当z= 0
时,我们得到的结果是无穷大。这个结果在实际中是没有意义的,以后我们得想办法弄掉它。再来看z,

    

仍旧拿我们上面定义的f(z)函数来看,我们已经知道当z
≥Zfar时,f(z)≥1;同时当z→+∞,f(z)→Zfar/(Zfar-Znear);当z→+0时,f(z)→-∞;
z→-0时,f(z)→+∞; z→∞时,f(z)→Zfar/(Zfar-Znear).由此我们画出f(z)的图像。



(图5)

     

由此图可以看出当z
≤0时,如果我们仍旧使用f(z)进行绘制会产生错误。所以我们会想需要clip操作——只要这个三角形有任意一个顶点经过变换后z值落在[Zfar/(Zfar-Znear),

+∞]区间中,我们就毫不怜悯地抛弃她——因为无论如何,这个结果是错的。那么万一有三角形在view空间内横跨了Znear到0的范围,按我们想应该是
画不出来了。但是回想一下我们所看见过的DirectX程序,似乎从未看到过这种情况。有点奇怪,但是不得不先放放,稍后再说。


3.到DirectX中求证


在DirectX中拿一个用fov生成投影矩阵的函数来看。


D3DXMATRIX* D3DXMatrixPerspectiveFovLH( D3DXMATRIX*

pOut
,
FLOAT

fovy
,
FLOAT

Aspect
,FLOAT

zn
,
FLOAT

zf

)

      

这个函数恰好使用了我们刚才推导所使用的几个参数,经过一些数据的代入计算之后,我们就会发现它所产生的矩阵就是我们计算出来的。看来,DirectX的
思路和我们是一致的。好的,一个问题解决了,但一个新的问题接着产生——DirectX是怎么做clip的?我不知道,而且看样子现在也知道不了,只能期
待牛人相助或者是碰到一本好书了。


4.研究ps2lib的投影变换



  其实投影变换都是一回事,但是PS2lib的函数怎么有点不一样呢?仔细看看,原来我们的思路是先做“归一化”,然后再做view
port的放缩和平移,而PS2不是这样——它把“归一化”放在最后。接下来,我们就按这个顺序试试。


先看缩放操作,把它和除z交换顺序很方便,直接换便是了。于是我们记view port 的宽度为Vw,高度为Vh,
Z缓存的最大值为Zmax, 最小值为Zmin则有


x’ = x * cot(fov/2)/aspect*(Vw/2)


y’ = y * cot(fov/2)*(Vh/2)


z’ = Zfar(z-Znear)/(Zfar-Znear) * (Zmax-Zmin);


w’ = z


再看平移部分,既然是要平移后再除,则必须平移原来的z倍,于是我们又记view port中心坐标为(Cx, Cy),就有


x’’ = x’ + z * Cx


y’’ = y’ + z * Cy


z’’ = z’ + z * Zmin


w’’ = w


好的,我们看看cot(fov/2)等于什么,从图2看,实际上它就是D/(Vh/2),那么cot(fov/2)/aspect实际上就是D/(Vw/2)。但是,ps2在这上面耍了个小花招,它在view空间中的view
port和project空间的view port可以不相等。最明显的一点是,它在view空间中的view
port的高度为480,但实际上它的输出的y向分辨率只有224。也就是说,ps2想要输出纵横比等于电视机的图像,就必须在y向上再加一个缩放。这个缩放在我们的变换中体现在哪呢?就在y’
= D/(Vh/2) * (Vhscr/2)中,注意到两个Vh不相等(project空间中的Vh记成Vhscr),两个值一运算就得到x’ =
D*(224/480) =
0.466667D。这个0.4666667就是ps2lib函数参数ay的由来。同理,我们亦可得知ax一般应取值为1。那么,实际上ps2lib函数的scrz,ax,
ay三个参数的作用等同于DirectX的象形函数的fov和aspect,在确定的规则下,他们可以相互转换,得到性质完全相同的透视变换。至于这个规则,这里就不给出了。


转回正题,有了上面的讨论,我们就可以展开我们的变换表达式如下,


x’’ = x * scrz * ax + z * Cx


y’’ = x * scrz * ay + z * Cy


z’’ = z * (Zfar*Zmax–Znear*Zmin)/(Zfar – Znear)


–Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)


w’’ = z


z分量好像还有点不一样,注意到一般ps2程序在z
buffer的操作为greater&equal,而DirectX的操作为less&equal,就是说,z方向得做些变动——得把z=Znear映射到z’’ =
Zmax,z=Zfar映射到z’’=Zmin。说变就变,我们马上有


z’ = Zfar(z-Znear)/(Zfar-Znear)*(Zmin-Zmax)


z’’ = z’+Zmax


再次展开,得到z’’ = z * (Zfar*Zmin–Znear*Zmax)/(Zfar – Znear )


+ Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)


好了,用矩阵把这个变换写出来,


scrz*ax      0                               0                                 0

  
0       scrz*ay                           0                                 0

  
Cx        Cy     (Zfar*Zmin–Znear*Zmax)/(Zfar – Znear )     1

  
0           0       Zfar*Znear*(Zmax-Zmin)/(Zfar-Znear)         0,



这下就完全一样了。下面的任务就是看看这个变换的性质。因为最后同样要除以z,所以x,y分量上的情形的和原来我们推导的DirectX的投影变换是一样的,区别在z分量上。来看新的f(z)函数,它的图像为



(图6)


5.结论



至此,我们已经完成了预定的目标。但是,将坐标变换完全掌握之后,为了做一个像样的图形程序,我们还有更多事情要做——至少在PS2上是这样

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